本篇笔记主要介绍了可并堆的概念及其相关操作，包括左倾堆、斜堆和二项堆的定义、操作及复杂度分析。左倾堆通过空路径长度来定义节点的结构，斜堆则通过自适应的方式进行合并，而二项堆则是由多个堆有序树组成的森林。每种堆的合并、插入和删除操作都有其独特的实现方式和复杂度分析。（由 gpt-4o-mini 生成摘要）

本篇笔记主要介绍了算法的基本概念，包括算法的定义、性质、函数的增长以及算法的复杂度等内容。通过对这些内容的深入探讨，读者将能够理解算法在计算机科学中的重要性，并掌握评估和分析算法性能的基本方法。（由 gpt-4o-mini 生成摘要）

本篇笔记介绍了集合的基本概念，包括集合的定义、表示方法、集合之间的关系、集合的操作以及函数的基本性质。我们探讨了集合的基数、可数性以及康托定理等重要主题。通过这些内容，读者将能够理解离散数学中集合和函数的基本结构和性质。（由 gpt-4o-mini 生成摘要）

本篇笔记主要介绍了组合逻辑电路的基本概念，包括逻辑运算、逻辑门的类型及其特性、布尔代数的基本法则、规范形式以及卡诺图的使用方法。此外，还探讨了电路优化的目标和方法，帮助读者理解如何在设计中实现高效的逻辑电路。（由 gpt-4o-mini 生成摘要）

本篇笔记概述了二叉搜索树的基本概念及其变种，包括 AVL 树、Splay 树、红黑树和 B+ 树。首先介绍了 AVL 树的定义、插入和删除操作，以及如何维护树的平衡。接着讨论了 Splay 树的旋转操作和均摊分析，随后介绍了红黑树的插入和删除策略，最后讲解了 B+ 树的结构特性及其分裂和插入过程。整体上，笔记提供了对这些数据结构的深入理解和操作方法。（由 gpt-4o-mini 生成摘要）

本篇笔记概述了数字系统和信息的基本概念，包括数字电路、数字信号与模拟信号的区别，逻辑系统的分类（组合电路与时序电路），以及数字计算机和嵌入式系统的结构与设计过程。此外，还介绍了数字系统中的进制、编码方式（如 BCD 码、格雷码和奇偶校验码）等内容，帮助读者理解数字逻辑设计的基础知识。（由 gpt-4o-mini 生成摘要）

本篇笔记介绍了命题逻辑的基本概念，包括命题、逻辑运算符、条件语句、真值表及其应用等内容。接着，讨论了逻辑等值式、逻辑定律、全功能集和标准式等重要主题。最后，笔记还涵盖了谓词逻辑、嵌套量词、推理准则和证明方法等内容，提供了对逻辑推理和证明的深入理解。（由 gpt-4o-mini 生成摘要）

维护一棵点有颜色的树，一开始只有编号为 $1$ 的节点，其颜色为 $C$，要求支持以下操作 $q$ 次：

1. 给定 $x,c,d$，添加一个编号为 $n+1$ 颜色为 $c$ 的节点，向点 $x$ 连一条长度为 $d$ 的边
2. 给定 $x,c$，将点 $x$ 的颜色变成 $c$。

每次操作后，你都需要在树上选两个颜色不同的点并最大化它们之间最短简单路径的长度，并输出。

$1\le q\le 5 \times 10^5$。

本篇文章中，我们将从常用的切线放缩和泰勒展开出发，探讨一些在高中数学中常用的逼近与放缩方法，并简单介绍他们的应用。

2022 年新高考 I 卷中出现的比较 $a=0.1e^{0.1}$，$b=\dfrac 19$，$c=-\ln 0.9$ 三个数大小的选择题即为这种方法的典型例题。