本篇笔记介绍了命题逻辑的基本概念，包括命题、逻辑运算符、条件语句、真值表及其应用等内容。接着，讨论了逻辑等值式、逻辑定律、全功能集和标准式等重要主题。最后，笔记还涵盖了谓词逻辑、嵌套量词、推理准则和证明方法等内容，提供了对逻辑推理和证明的深入理解。（由 gpt-4o-mini 生成摘要）

维护一棵点有颜色的树，一开始只有编号为 $1$ 的节点，其颜色为 $C$，要求支持以下操作 $q$ 次：

1. 给定 $x,c,d$，添加一个编号为 $n+1$ 颜色为 $c$ 的节点，向点 $x$ 连一条长度为 $d$ 的边
2. 给定 $x,c$，将点 $x$ 的颜色变成 $c$。

每次操作后，你都需要在树上选两个颜色不同的点并最大化它们之间最短简单路径的长度，并输出。

$1\le q\le 5 \times 10^5$。

本篇文章中，我们将从常用的切线放缩和泰勒展开出发，探讨一些在高中数学中常用的逼近与放缩方法，并简单介绍他们的应用。

2022 年新高考 I 卷中出现的比较 $a=0.1e^{0.1}$，$b=\dfrac 19$，$c=-\ln 0.9$ 三个数大小的选择题即为这种方法的典型例题。

定义一个排列 $P$ 上的操作 $(t,S)$ 为：

1. 有两个空序列 $A$ 和 $B$；
2. 枚举 $S_i=1$ 的每个 $i$：如果 $P_i$ 是偶数，则将其放到 $A$ 的末尾；否则放到 $B$ 的末尾；
3. 如果 $t=0$ 则令 $C=\overline{AB}$，否则令 $C=\overline{BA}$；
4. 枚举 $S_i=1$ 的每个 $i$：将 $P_i$ 替换为 $C$ 的开头元素，删去 $C$ 的开头元素。

现给定排列 $P$，要求使用至多 $30$ 次如上操作，使 $P$ 从小到大排序，注意你不需要最小化操作次数。

$1\le n\le 15000$。

给一个长度为 $n$ 的序列 $a_i$，和 $q$ 组询问 $(l,r,x)$，表示求 $\displaystyle\prod_{i=l}^r\left(1-\frac{a_i}{x}\right)$ 的值。实数输出，精度要求 $10^{-6}$。

$n,q\le6\times10^5,\ 1\leq a_i < x\leq 10^9$。

一个长度为 $n$ 的排列是正确的，当且仅当他不存在非平凡的连续子序列，使得他的值也是连续的。 对于 $k\in[1,n]$ 求出，有多少长度为 $k$ 的正确的排列。

$n\le 10^5$。

给定一个 $n$ 个点的简单多边形（不保证是凸的），你需要确定一个半径 $r$，然后在每个端点画一个半径为 $r$ 的圆，要求能覆盖简单多边形的全部面积。

你需要确定这个 $r$ 最小是多少，精度要求 $10^{-6}$。

$3 \leq n \leq 2000,\ -10^4 \leq x_i,y_i \leq 10^4$。

维护序列 $a_{1\ldots n}$，支持以下操作 $m$ 次：

1. 给 $x,y$，将 $x$ 位置的值修改为 $y$；
2. 给 $l,r,x$，查询区间$[l,r]$中有多少子区间的最大值小于或等于 $x$。

$n,m \leq 3 \times 10^5$。

给定 $n$ 和 $\{c_{i}\}_{i=0}^n$，表示 $n+1$ 条限制形如对于 $f(x)$ 满足 $1 \leq f(i) \leq c_i$ 对于所有 $0\le i\le n$。

其中 $f(x) = \sum_{i=0}^{n} a_i x^i$，这里 $\{a_i\}_{i=0}^n$ 都是整数，即 $f(x)$ 是一个不超过 $n$ 次的整系数多项式。

问满足限制的 $f(x)$ 有多少个，答案对 $998244353$ 取模。

$0\le n\le 6$，$1\le c_i\le 10^9$。