本篇笔记主要介绍了多元随机变量及其分布的相关概念。首先讨论了二元随机变量的基本定义，包括离散型和连续型随机变量的联合分布、边际分布和条件分布。其次介绍了二元正态分布这一重要的特例。随后探讨了多元随机变量的独立性概念及其判定方法。最后讨论了多元随机变量函数的分布问题，包括和、商、积以及最大最小值等情形的分布推导方法。（由 claude-3.5-sonnet 生成摘要）

1. 二元随机变量及其分布

• (二元随机变量) 设 $E$ 是一个随机试验，样本空间是 $S = \{e\}$，设 $X = X(e)$，$Y = Y(e)$ 是定义在 $S$ 上的随机变量，由它们构成向量的 $(X,Y)$ 叫 二元随机变量。
• (二元离散型随机变量) 若二元随机变量 $(X,Y)$ 全部可能取到的不同值是有限对或可列无限对，则称 $(X,Y)$ 是 二元离散型随机变量。
• (联合分布律) 设二元离散型随机变量 $(X,Y)$ 的所有可能取值为 $(x_{i},y_{j})\,\quad i,j=1,2,\cdots$，设 $p_{ij} = P(X=x_{i},Y=y_{j})$ 为 $(X,Y)$ 的 联合(概率)分布律。
  • (联合分布律的性质)
    • $p_{ij} \geq 0\quad i,j=1,2,\cdots$
    • $\displaystyle{\sum_{i=1}^{\infty} \sum_{j=1}^{\infty} p_{ij} = 1}$
    • (边际分布律) 在上述条件下，设 $(X,Y)$ 的 边际(概率)分布律 为 $P(Y=y_{j})=P(X<\infty,Y=y_{j})=p_{\cdot j}$ 和 $P(X=x_{i})=P(X=x_{i},Y<\infty) = p_{i\cdot}$。
    • (条件分布律) 在上述条件下，设 $(X,Y)$ 的 条件(概率)分布律 为 $P(X=x_{i}\mid Y=y_{j})=\dfrac{p_{ij}}{p_{\cdot j}}$ 和 $P(Y=y_{j}\mid X=x_{i})=\dfrac{p_{ij}}{p_{i\cdot}}$。
• (联合分布函数) 设 $(X,Y)$ 为二元随机变量，对于任意实数 $x,y$，二元函数 $F(x,y)=P\{ (X\leq x) \cap (Y\leq y) \}=P(X\leq x,Y\leq y)$ 称为二元随机变量 $(X,Y)$ 的 联合(概率)分布函数。
  • (联合分布函数的性质)
    • $F(x,y)$ 关于 $x,y$ 分别单调不减
    • $0\leq F(x,y)\leq 1,\ F(+\infty,+\infty)=1$ 且对任意 $x,y$，$F(-\infty,y)=F(x,-\infty)=F(-\infty,-\infty)=0$
    • $F(x,y)$ 关于 $x,y$ 右连续，即 $\displaystyle{\lim_{ \varepsilon \to 0^{+} } F(x+\varepsilon,y) = \lim_{ \varepsilon \to 0^{+} } F(x,y+\varepsilon)=F(x,y)}$
    • 若 $x_{1}<x_{2},y_{1}<y_{2}$，则 $F(x_{2},y_{2})-F(x_{2},y_{1})-F(x_{1},y_{2})+F(x_{1},y_{1})= P(x_{1}<X\leq x_{2},y_{1}<Y\leq y_{2}) \geq 0$
  • (边际分布函数) 在上述条件下，设 $X,Y$ 的 边际(概率)分布函数 分别为 $F_{X}(x) = F(x,+\infty)$ 和 $F_{Y}(y) = F(+\infty,y)$。
  • (条件分布函数) 在上述条件下，设 $X,Y$ 的 条件(概率)分布函数 分别为 $F_{X\mid Y}(x\mid y)=P(X\leq x\mid Y=y)=\dfrac{P(X\leq x,Y=y)}{P(Y=y)}$。特别地，若 $P(Y=y)=0$，则记 $\displaystyle{P(X\leq x\mid Y=y)=\lim_{ \varepsilon \to 0^{+}} \dfrac{P(X\leq x,y<Y<y+ \varepsilon)}{P(y<Y<y+\varepsilon)}}$。
• (联合密度函数) 对于二元随机变量 $(X,Y)$，如果存在非负函数 $f(x,y)$ 使对于任意 $(x,y)$ 满足 $\displaystyle{F(x,y)=\int_{-\infty}^{y}\int_{-\infty}^{x} f(u,v) \text{d}u\text{d}v}$，则称 $(X,Y)$ 为 二元连续型随机变量，称 $f(x,y)$ 为二元随机变量的 联合(概率)密度函数。
  • (联合密度函数的性质)
    • $f(x,y) \geq 0$
    • $\displaystyle{\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} f(x,y) \text{d} x \text{d}y = 1}$
    • 设 $G$ 是平面上区域，则 $(X,Y)$ 落在 $G$ 内的概率 $\displaystyle{P\{ (X,Y) \in G \} = \iint_{G} f(x,y) \text{d}x\text{d}y}$
    • 在 $f(x,y)$ 的连续点 $(x,y)$，有 $\dfrac{\partial^{2} F(x,y)}{\partial x \partial y} = f(x,y)$
  • (边际密度函数) 在上述条件下，设 $X,Y$ 的 边际(概率)密度函数 分别为 $\displaystyle{f_{X} (x) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x,y) \text{d}y=\int_{-\infty}^{x} f_{X} (u) \text{d}u}$ 和 $f_{Y} (y) = \displaystyle{\int_{-\infty}^{+\infty} f(x,y) \text{d} x=\int_{-\infty}^{y} f_{Y} (v)\text{d}v}$。
  • (条件密度函数) 在上述条件下，设 $X,Y$ 的 条件(概率)密度函数 分别为 $f_{X\mid Y}(x\mid y)=\dfrac{f(x,y)}{f_{Y}(y)},\ f_{Y}(y)>0$ 和 $f_{Y\mid X}(y\mid x)=\dfrac{f(x,y)}{f_{X}(x)},\ f_{X}(x)>0$。
    • (条件密度函数的性质)
      • $f_{X\mid Y} (x\mid y)\geq0$
      • $\displaystyle{\int_{-\infty}^{+\infty} f_{X\mid Y} (x \mid y) \text{ d}x = 1}$
      • $P\{a<X<b \mid Y=y\} = \displaystyle{ \int_{a}^{b} f_{X\mid Y} (x\mid y)\text{d}x }$
      • 在 $f_{X \mid Y} (x\mid y)$ 的连续点 $x$，有 $\dfrac{\text{d} F_{X\mid Y}(x \mid y)}{\text{d}x} =f_{X \mid Y} (x\mid y)$
      • $f(x,y) = f_{X\mid Y}(x \mid y) f_{Y} (y) = f_{X}(x) f_{Y\mid X} (y \mid x)$
• (二元正态分布) 设二元随机变量 $(X,Y)$ 的概率密度函数为 $\displaystyle{f(x,y) = \dfrac{1}{2\pi \sigma_{1} \sigma_{2} \sqrt{1-\rho^{2}}} \cdot \exp \left( -\dfrac{1}{2(1-\rho^{2})} \left( \frac{\left(x-\mu_1\right)^2}{\sigma_1^2}-2\rho\frac{\left(x-\mu_1\right)\left(y-\mu_2\right)}{\sigma_1\sigma_2}+\frac{\left(y-\mu_2\right)^2}{\sigma_2^2} \right)\right)}$ $\quad (-\infty<x<+\infty,\ -\infty<y<+\infty)$ 其中 $\mu_{1},\mu_{2},\sigma_{1},\sigma_{2},\rho$ 都是常数，且 $\sigma_{1}>0,\sigma_{2}>0,-1<\rho<1$；称 $(X,Y)$ 为服从参数为 $\mu_{1},\mu_{2},\sigma_{1},\sigma_{2},\rho$ 的 二元正态分布，记为 $(X,Y) \sim N(\mu_{1},\mu_{2},\sigma_{1}^{2},\sigma_{2}^{2},\rho )$。
  • 图例：
    

2. 多元随机变量的独立性

• (二元随机变量的独立性) 设 $F(x,y)$ 及 $F_{X}(x),F_{Y}(y)$ 分别是随机变量 $(X,Y)$ 的联合分布函数及边际分布函数，若对所有实数 $x,y$ 都有 $P(X\leq x,Y\leq y)=P(X\leq x)P(Y\leq y)$，即 $F(x,y)=F_{X}(x)F_{Y}(y)$，则称随机变量 $X,Y$ 相互独立。
  • 若 $(X,Y)$ 是离散型随机变量，则 $X,Y$ 相互独立的条件等价于 $p_{ij}=p_{i\cdot}p_{\cdot j}$ 对一切 $i,j$ 都成立。
  • 若 $(X,Y)$ 是连续型随机变量，则 $X,Y$ 相互独立的条件等价于 $f(x,y)=f_{X}(x)f_{Y}(y)$ 在平面上除去“零面积”集以外处处成立。
  • 连续型随机变量 $X,Y$ 相互独立的充分必要条件是存在连续函数 $m(\cdot),n(\cdot)$ 使得 $f(x,y)=m(x)\cdot n(y),\ |x|<+\infty,|y|<+\infty$。

3. 多元随机变量的函数的分布

• $Z=X+Y$ 的情形
  • (卷积公式) 设连续型随机变量 $(X,Y)$ 的密度函数为 $f(x,y)$ 且 $X$ 与 $Y$ 相互独立，则 $Z=X+Y$ 的密度函数为 $\displaystyle{f_{Z}(z)=\int_{-\infty}^{+\infty} f_{X}(z-y)f_{Y}(y) \text{d}y=\int_{-\infty}^{\infty} f_{X}(x)f_{Y}(z-x)\text{d}x}$，称为 卷积公式。
    • 设 $X$ 与 $Y$ 相互独立且 $X \sim N(\mu_{1},\sigma_{1}^{2}),\ Y\sim N(\mu_{2},\sigma_{2}^{2})$，则 $aX+bY+c\sim N(a\mu_{1}+b\mu_{2}+c,a^{2}\sigma_{1}^{2}+b^{2}\sigma_{2}^{2})$。
• $Z=\dfrac{Y}{X}$ 或 $Z=XY$ 的情形：
  • $Z=\dfrac{Y}{X}$ 的概率密度函数为：$\displaystyle{f_{Z}(z)=\int_{-\infty}^{+\infty} |x| f(x,xz)\text{d}x}$
  • $Z=XY$ 的概率密度函数为：$\displaystyle{f_{Z} (z) = \int_{-\infty}^{+\infty} \dfrac{1}{|x|} f \left( x, \dfrac{z}{x} \right) \text{d}x}$
• $M=\max \{ X,Y \}$ 或 $N=\min \{ X,Y \}$ 的情形
  • 设 $X,Y$ 是两个相互独立的随机变量，则 $M=\max \{ X,Y\}$ 的分布函数为 $F_{M}(z) = F_{X}(z)F_{Y}(z)$；$N=\min \{ X,Y \}$ 的分布函数为 $F_{N}(z)=1-(1-F_{X}(z))(1-F_{Y}(z))$。