本篇笔记主要介绍了光学的三个重要章节：光的干涉、光的衍射和光的偏振。在光的干涉部分，详细讨论了光源的基本概念、折射率、光程等基础知识，以及杨氏双缝实验、洛埃镜实验和薄膜干涉等典型实验。在光的衍射部分，介绍了惠更斯原理，并对单缝衍射和光栅衍射进行了深入分析。最后在光的偏振部分，讨论了不同类型的光束、偏振片的原理，以及马吕斯定律和布儒斯特定律等重要规律。（由 claude-3.5-sonnet 生成摘要）

1. Ch20 光的干涉

1.1. 光的基本概念

• 光源：能够发射光波的物体称为光源。
  • 热辐射光源：将热能转化为辐射。
  • 冷光源：与周围温度相同，不需要加热。
  • 普通光源：激发态原子的自发辐射，频率、相位、振动方向或传播方向不相同；谱线宽度 $\Delta \lambda: 10^{-3} \sim 10^{-1} \text{ nm}$。
  • 激光光源：原子的受激辐射，频率、相位、振动方向和传播方向都相同；谱线宽度 $\Delta \lambda: 10^{-9}\text{ nm}$。
• 单色光与复色光
  • 单色光：具有单一频率的光波。
  • 复色光：不同频率单色光的混合光。
• 光强：
  • 谱线宽度 $\Delta \lambda$：谱线在光强 $I_{0}/2$ 处的波长范围。
• 折射率：同频率的光波在不同介质中，其波速和波长不一样。
  • 设光在真空中的波速为 $c_{0}$，则在 折射率 为 $n$ 的介质中的波速 $c$ 满足 $n=\dfrac{c_{0}}{c}$。
  • 设光在真空中的波长为 $\lambda$，则在 折射率 为 $n$ 的介质中的波长 $\lambda_{n} = \dfrac{c}{\nu} =\dfrac{\lambda}{n}$。
• 光程：光在折射率为 $n$ 的介质中经过的路程为 $r$ 时，称 $L=nr$ 为光程。
  • 这是为了方便计算光的相位变化所定义的概念，因为经过光程为 $L$ 所引起的相位差变化为：$\Delta \varphi = 2\pi \dfrac{r}{\lambda_{n}} = \dfrac{2\pi}{\lambda} nr=\dfrac{2\pi}{\lambda} L$（$\lambda$：真空中的波长）。
  • 等光程性：光线通过透镜会改变它的传播方向，但不产生附加的光程差。即，物点与象点之间各光线的光程都相等，观测仪器不会带来附加的光程差。
• 半波损失：如果光是从光束介质传向光密介质，则在其分界面上反射时将发生 半波损失，即相位有 $\pi$ 的突变。折射波没有半波损失。

1.2. 光的干涉

设符合相干条件的两光矢量 $E_{1},E_{2}$ 在其原点有：

$$\begin{aligned}E_1&=E_{10}\cos(\omega t+\varphi_{10})\\ E_2&=E_{20}\cos(\omega t+\varphi_{20})\end{aligned}$$

则在 $P$ 点：

$$\begin{aligned}&E_1=E_{10}\cos(\omega t-{\color{green}2\pi n_{1}r_1/\lambda}+\varphi_{10})\\ &E_2=E_{20}\cos(\omega t-{\color{green}2\pi n_{2}r_2/\lambda}+\varphi_{20})\\ &({\color{green}2\pi n_{i}r_{{i}}/\lambda\ (i=1,2)}\text{: 从光源 }S\text{ 到 }P\text{ 的相位变化量})\end{aligned}$$

矢量合成的结果为：

$$\begin{aligned}E_0^2=E_{10}^2+E_{20}^2+2E_{10}E_{20}\cos\Delta\varphi\\ \Delta\varphi=(\varphi_{20}-\varphi_{10})-\frac{2\pi}\lambda(n_{2}r_2-n_{1}r_1)\end{aligned}$$

则光发生干涉的判据为：

$$\Delta \varphi = \begin{cases}\pm 2k \pi,\quad &k = 0, 1, 2, \ldots\ (\text{干涉加强})\\ \pm (2k+1) \pi, \quad &k=0, 1, 2,\ldots\ (\text{干涉减弱})\end{cases}$$

当 $\varphi_{10} = \varphi_{20}$ 时，用 $\delta=n_{2}r_{2}-n_{1}r_{1}=L_2-L_{1}$ 来表示光程差，则有

$$\delta = \begin{cases}\pm (2k) \frac{\lambda}{2},&\quad k=0,1,2,...\ (\text{干涉加强})\\\pm(2k+1)\frac\lambda2,&\quad k=0,1,2,...\ (\text{干涉减弱})\end{cases}$$

• 光的干涉条件：频率相同、振动方向相同、相位差恒定。
  • 相干光的获得方法
    • 分波阵面法：同一波阵面的不同部分分离出两束相干光。
    • 分振幅法：反射光和折射光作为两束相干光。
• 杨氏双缝实验（利用分波阵面法获得相干光）
  • 一般认为实验在真空（或空气）中进行，则光程差为：$\delta = r_{2} - r_{1} \approx d \sin \theta \approx d \tan \theta = d \cdot \dfrac{x}{D}$。
  • 相邻两明纹（或暗纹）的间距，实际上就是光程差改变 $\lambda$ 的位置，有 $\Delta x = \dfrac{D}{d} \lambda$。
  • 屏中心处由于 $\delta = r_{2}-r_{1} = 0$，是相长干涉，称为 中央亮纹，故有：明条纹 $x_{\pm k}= \pm k \dfrac{D}{d} \lambda$，暗条纹 $x_{\pm k} = \pm (2k+1) \dfrac{D}{2d} \lambda$。
  • 推论：$\Delta x\propto\lambda$，故复色光做实验时，红光在外，紫光在内。
• 洛埃镜实验（也是利用分波阵面法获得相干光）
  • 将屏幕移至 $NM$ 的位置，两光束到 $N$ 点的几何路径相同位相差为零，但在 $N$ 处出现的是暗点，这说明反射光有 半波损失。
• 薄膜干涉
  • 等倾干涉（厚度均匀的薄膜产生的干涉）
    • 单色光照射到平行的平面薄膜上，在 $A$ 点产生反射和折射，形成 $a,b$ 两光束，其光程差为：$\delta = n_{2} (AC + CB) - n_{1} AD + \delta'$。
      • 其中 $\delta'$ 是半波损失产生的附加光程差：
        • 当 $n_{1}>n_{2}>n_{3}$ 或 $n_{1}<n_{2}<n_{3}$ 时，$\delta'=0$；
        • 当 $n_{1} < n_{2} > n_{3}$ 或 $n_{1} > n_{2} < n_{3}$ 时，$\delta'=\dfrac{\lambda}{2}$。
      • 推论：当光垂直入射时，光程差为：$\color{blue}\delta = 2n_{2} e + \delta'$。
  • 等厚干涉（厚度不均匀的薄膜产生的干涉）
    • 劈尖膜干涉：
      • 设 $n$ 为中间介质折射率，$e$ 为该位置薄膜厚度，则光程差为：$\color{blue} \delta = 2ne + \dfrac{\lambda}{2}$（两束反射光应刚好一个有半波损失另一个没有）。
      • 相邻两明纹（或暗纹）之间的距离为 $l=\dfrac{\lambda}{2 n \sin \theta}$，与膜的厚度 $e$ 无关。
    • 牛顿环：
      • 同理，设对应位置的厚度为 $e$，则光程差也是：$\delta = 2ne + \dfrac{\lambda}{2}$。
      • 设半径为 $r$，曲率半径为 $R$，则对应厚度可以用 $\color{blue}e \approx \dfrac{r^{2}}{2R}$ 近似计算。
      • 代入解得 $k$ 级明环半径为 $r_{k}=\sqrt{\left( k-\dfrac{1}{2}\right) R \lambda}$，$k$ 级暗环半径为 $r_{k}=\sqrt{kR\lambda}$，注意牛顿环中间是一个暗斑。
• 光的干涉的应用（注意判断半波损失）
  • 增透膜：利用薄膜干涉使反射光减小。
  • 高反射膜：利用薄膜干涉折射光减小。

2. Ch21 光的衍射

• 光的衍射现象：光在传播过程中，绕过障碍物而偏离了直线传播的现象。
• 惠更斯原理：媒质中波源 $S$ 所到达的任一点都可以看作一个新的子波源；这些子波源向空间发射球面子波，在以后的任一时刻，这些子波的包络面就是波在该时刻的新的波阵面。——解决了波的传播方向问题
• 光的衍射的分类
  • 菲涅尔(近场)衍射：是指当光源和接收屏离障碍物（衍射屏）的距离为有限远时，或两者之一离衍射屏的距离为有限远时，所发生的衍射现象。
  • 夫琅禾费(远场)衍射：是指衍射屏离光源和接收屏无限远的衍射，相当于入射光和衍射光都为平行光。实验上可利用两个透镜来实现。
• 单缝衍射：设平行光垂直入射单缝（如果不是垂直入射，而是存在入射角 $i$，则将下面的 $\sin \theta$ 替换为 $\sin \theta +\sin i$）。
  • 当 $\theta$ 不大时，$\sin \theta \approx \tan \theta = \dfrac{x}{f}$。
  • 单个半波带宽度为 $\dfrac{\lambda}{2}$。
    • 明暗条纹
      • 中央明纹中心：$\theta=0$，注意宽度是其他明纹的两倍。
      • 暗纹中心：$a \sin \theta = \pm k \lambda,\quad k=1,2,\cdots$
      • 明纹中心：$a \sin \theta = \pm (2k+1) \dfrac{\lambda}{2}, \quad k=1,2,\cdots$
• 光栅衍射：
  • 光栅常数 $d=a+b$，其中 $a$ 为透光缝的宽度，$b$ 为不透光裂痕的宽度。
  • 主极大明纹：$d \sin \theta = \pm k \lambda,\ k=0,1,2,\cdots$ 满足该方程的 $\theta$ 初可以看到明纹。由于 $-\dfrac{\pi}{2} < \theta < \dfrac{\pi}{2}$，主极大明纹的个数是有限的。
  • 缺级：某些衍射角 $\theta$ 同时满足光栅方程和单缝衍射的暗纹条件吗，此时原定的主极大明纹就会变成暗纹：$\begin{cases}a \sin \theta = k_{1} \lambda \quad \text{(单缝衍射暗纹)}\\ d \sin \theta = k_{2} \lambda \quad \text{(光栅主极大)}\end{cases} \Longrightarrow {\color{blue}k_{2} = \dfrac{d}{a} k_{1}}$。
  • 光栅分辨本领 $\color{blue}R=\dfrac{\overline{\lambda}}{\Delta \lambda} = k N$。TBD。

3. Ch22 光的偏振

• 光束的分类
  • 线偏振光：空间各点的光矢量都沿同一个固定的方向振动。
  • 自然光：两个振动方向互相垂直、相位差随机、等振幅的线偏振光组合。
  • 部分偏振光：介于自然光和线偏振光之间，振动在各个方向上的振幅不同。
• 偏振片：（理想偏振片）平行于指定方向的振动分量完全通过，垂直于指定方向的振动分量完全吸收。
• 马吕斯定律：设起偏器和检偏器的偏振化方向成 $\alpha$ 角，入射到检偏器的光强为 $I_{1}$，透射光强为 $I_{2}$，则 $\color{blue} I = I_{0} \cos^{2} \alpha$。
  • 当 $\alpha=0$ 时 $I=I_{\max} = I_{0}$；当 $\alpha=\dfrac{\pi}{2}$ 时，$I=0$。
• 布儒斯特定律：当光线以 $i_{B}$ （称为 布儒斯特角）入射并且满足 $\color{blue}i_{B} +r =90\degree$ 时，反射光线是完全偏振光，而折射光线仍是部分偏振光，且 $\color{blue}\tan i_{B}=\dfrac{n_{2}}{n_{1}}=n_{21}$。